数学题目整理

II 5

description：

给定正整数 $n\geq 5$ 和正整数 $a_1,a_2,\dots a_n$，如果集合 $S=\{a_1,a_2,\dots a_n\}$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$ 满足： $A$ 中所有数的和不等于 $B$ 中所有数的和。试求 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \dots+\frac{1}{a_n}$ 的最大值。

solution：

首先目测$S=\{1,2,2^2,\dots,2^n-1\}$ 即为所求的结果，下证其满足“ $A$ 中所有数的和不等于 $B$ 中所有数的和”的条件：

当 $S=\{1,2,2^2,\dots,2^n-1\}$时，其中任意两个非空子集元素和显然：
$1+2^{k_1}+\dots 2^{k_r}\neq 2^{m_1}+\dots +2^{m_t}(1\leq k_i,m_i\le n-1)$。
（因为等式两边一奇一偶。
若 $2^{k_1}+\dots 2^{k_r}\neq 2^{m_1}+\dots +2^{m_t}(1\leq k_i,m_i\le n-1)$。
其中 $k_1<k_2<\dots<k_r$，$m_1<m_2<\dots<m_t$；
不妨设 $k_1<m_1$，等式两边同时除以 $2^{k_1}$，则有：
$1+2^{k_2-k_1}+\dots2^{k_r-k_1}\neq 2^{m_1-k_1}+\dots 2^{m_t-k_1}$。
（还是因为一奇一偶
故得证 $S$ 中元素满足条件。
$∴ \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$

下证：对 $S=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ 满足条件时，有 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2},\dots+\frac{1}{a_n}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}$

使用做差法：

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2},\dots+\frac{1}{a_n}=\frac{a_1-1}{a_1}+\frac{a_2-2}{2a_2}+\frac{a_3-2a_1}{2^2a_3}$